Из семьи потомственного почетного гражданина. Окончил реальное училище при евангелически-лютеранской церкви св. Михаила в Москве (1911), юридический факультет Московского университета (1912—16). Вольнослушатель Московского коммерческого института (1915). В эмиграции с 1920, прибыл в порт Дубровника в 1921. Поселился на о. Зларин (Далмация), где работала врачом его супруга. Окончил геодезически-культуротехническое отделение технического факультета Загребского университета (1926—31). В 1928/29 уч. г. демонстратор на кафедре математики Загребского университета у проф. Ж. Марковича,  с 1931 г. ассистент на этой кафедре. С ноября 1929 подданный Королевства Югославии. В 1935—38 внештатный преподаватель низшей геодезии Загребского университета. В 1942 получил докторскую степень, став первым доктором геодезических наук в Загребском университете, и начал преподавать математику на химико-технологическом отделении технического факультета. В 1946 арестован по ложному обвинению в преподавании математики немецким военнослужащим в период Второй мировой войны; благодаря ходатайству своего студента вскоре освобожден. Вплоть до выхода на пенсию работал преподавателем математики в средней геодезической школе в Загребе. Автор многочисленных учебно-методических пособий: «Логарифмическая линейка», 1934 г. (13 изданий), «Тахиметрическая линейка», 1952 г., «Курс элементарной математики», 1945 г. (15 изданий),  «Курс высшей математики. Часть 1», 1950 г. (18 изданий), «Сборник задач по математике с решениями», 1950 г. (12 изданий), «Курс высшей математики. Ч. 2», 1952 г. (13 изданий), «Курс высшей математики. Ч. 3», 1958 г. (9 изданий) и др. В современной Хорватии переизданы две  книги А. - «Курс высшей математики. Ч. 3» (1994), «Курс высшей математики. Ч. 1» и  «Сборник задач по математике с решениями» (2003). В 2010 г. в Техническом музее Загреба состоялась выставка «Логарифмические линейки», на которой чествовался и вклад Б.А. Апсена.

Отец: Андреас Петер, купец, потомственный почетный гражданин, окончил Рижское политехническое училище. Мать: Надина Аугуста (урожд. фон Гален). Братья: Павел, Андрей. Жена: Екатерина Федоровна (урожд. Соколова), врач.

Фотография Б.А. Апсена предоставлена Надеждой Борисовной Апсен, фотография захоронения – Инна Грубмайр. Приносим огромную благодарность.

Некр.: Незабытые могилы. Российское зарубежье: Некрологи 1917—1997: В 6 т. / Сост. В.Н. Чуваков и др. М., 1999. Т. 1. С. 268.