Из дворянской семьи. Окончил 3-ю московскую гимназию (1880—85); юридический факультет Московского университета с серебряной медалью и дипломом 1-й степени (1885—91). Некоторое время учительствовал в имении Карачарово Клинского у. Московской губ., принадлежавшем князю Гагарину. С декабря 1891 по ходатайству профессора Л.А. Комаровского оставлен на 2 года для приготовления к профессорскому званию при кафедре международного права юридического факультета Московского университета. С августа 1893 воспитатель при Московском техническом училище, с января 1895 – помощник студенческого инспектора там же. В  1898—01 находился в заграничной командировке, преимущественно в Швейцарии. Занимался в Женеве под руководством основателя Общества Красного Креста Г. Муанье в архивах общества; лучший российский знаток истории Красного Креста. Приват-доцент по кафедре государственного права Томского университета (с апреля 1904). Магистр (1906), диссертация «Красный Крест в развитии международного права». С марта 1906 и. д. экстраординарного профессора по кафедре государственного права Томского университета; директор Петровско-Александровского пансиона-приюта московского дворянства (до сентября 1908). С июня 1906 приват-доцент юридического факультета Московского университета по кафедре международного права. С сентября 1908 и. д. экстраординарного, в мае 1911 — октябре 1912 и. д. ординарного профессора по кафедре государственного права Томского университета. Член Юридического общества, Общества изучения Сибири. С октября 1912 и. д. экстраординарного, затем ординарный профессор по кафедре международного права университета св. Владимира в Киеве. Доктор международного права (1913). С осени 1919 жил в Одессе, принимал деятельное участие в газ. «Единая Русь». В эмиграции с 1920 в Болгарии. Профессор кафедры международного права Софийского университета (1920—29). Основатель Балканского ближневосточного института в Софии (1920 совместно с С.С. Бочевым). В Болгарии опубликовал 19 работ по истории международного права и международных отношений на болгарском языке.

Отец: Михаил Игнатьевич (ум. 1887), судебный следователь. Мать: Гликерия Петровна (ур. Булашевич). Сестры: Вера (р. 1867), Ольга (р. 1868), Наталья (р. 1870). Жена: Бенедикта Дмитриевна (ур. Львова; р. 1874), княжна. Дочь: Ксения (1911—2002), литературовед, жила в СССР.

Благодарим Г.Н. Рыженко (Москва) за предоставленную фотографию Богаевского в зрелые годы

Библ.: Материалы для библиографии русских научных трудов за рубежом (1920—1940) / Под ред. Е.В. Спекторского. Т. 1. Белград, 1931. № 47. С. 37—38.

Соч.: Мултанское «моление» вотяков в свете этнографических данных. М., 1896; Красный Крест в развитии международного права: В 2 ч. М., 1906—1913; Специальный курс международного права. Киев, 1914; Босфор и Дарданеллы в их международном положении. Киев, 1915; Красный Крест в главных моментах его жизни и организации. М., 1916; Международное право: Лекции. София, 1925; Присъединението на Малорусия къмъ Масковското Царство. София, 1926.

Лит.: Грабарь В.Э. Материалы к истории литературы международного права в России (1647—1917). М., 1958. С. 337—338; Ковалевский П.Е. Наши достижения: Роль русской эмиграции в мировой науке. Вып. 1. Мюнхен, 1960. С. 32; Ковалевский П.Е. Зарубежная Россия: История и культурно-просветительная работа русского зарубежья за полвека (1920—1970). Париж, 1971. С. 315; Профессора Томского университета. Биографический словарь. Вып. 1. Томск, 1996. С. 40—42; Стародубцев Г.С. Международно-правовая наука российской эмиграции (1918—1939). М., 2000. С. 143—144; Бирман Н.А., Горяинов А.Н. Российские интеллектуалы-эмигранты в Болгарии 1920—1930-х годов // Новая и новейшая история. 2002. № 1. С. 178; Сухарев Ю.Н. Материалы к истории русского научного зарубежья: В 2 кн. М., 2002. Кн. 1. С. 57—58.

Некр.: Незабытые могилы. Российское зарубежье: некрологи 1917—1997 в 6 т. / Сост. В.Н. Чуваков. Т. 1. М., 1999. С. 339—340.